คณิตศาสตร์ ม.2 ความเท่ากันทุกประการของรูปสามเหลี่ยม

ความเท่ากันทุกประการของรูปสามเหลี่ยม

พิจารณารูปสามเหลี่ยม ABC และรูปสามเหลี่ยม DEF ซึ่งเท่ากันทุกประการ ดังรูปต่อไปนี้


เมื่อตรวจสอบความยาวของด้านคู่ที่สมนัยกัน จะได้ว่า AB = DE, BC = EF และ CA = FD
เมื่อตรวจสอบขนาดของมุมคู่ที่สมนัยกัน จะได้ว่า A ̂ = D ̂ , B ̂ = E ̂ และ C ̂ = F ̂

โดยทั่วไป ถ้ารูปสามเหลี่ยมสองรูปเท่ากันทุกประการ แล้วด้านคู่ที่สมนัยกันและมุมคู่ที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยมทั้งสองรูปนั้น มีขนาดเท่ากันเป็นคู่ ๆ

ในทางกลับกัน เมื่อรูปสามเหลี่ยม ABC และรูปสามเหลี่ยม DEF มีด้านคู่ที่สมนัยกัน ยาวเท่ากัน คือ AB = DE, BC = EF และ CA = FD และมีมุมคู่ที่สมนัยกันมีขนาดเท่ากันคือ A ̂ = D ̂ , B ̂ = E ̂ และ C ̂ = F ̂ ดังรูป

เมื่อตรวจสอบโดยการเคลื่อนที่ ∆ABC ให้ทับกับ ∆DEF จะได้ว่ารูปสามเหลี่ยมทั้งสองรูปทับกันได้สนิท นั่นคือ ∆ABC ≅ ∆DEF

โดยทั่วไป ถ้ารูปสามเหลี่ยมสองรูปมีด้านคู่ที่สมนัยกันและมุมคู่ที่สมนัยกัน มีขนาดเท่ากันเป็นคู่ๆ แล้วรูปสามเหลี่ยมทั้งสองรูปนั้นเท่ากันทุกประการ

ผลสรุปข้างต้นเป็นไปตามสมบัติต่อไปนี้

รูปสามเหลี่ยมสองรูปเท่ากันทุกประการ ก็ต่อเมื่อ ด้านคู่ที่สมนัยกันและมุมคู่ที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยมทั้งสองรูปนั้น มีขนาดเท่ากันเป็นคู่ ๆ

จากสมบัติดังกล่าวนี้ เมื่อต้องการตรวจสอบว่ารูปสามเหลี่ยมสองรูปเท่ากันทุกประการหรือไม่ เราจะต้องตรวจสอบความเท่ากันทุกประการของด้านที่สมนัยกันทุกคู่ และมุมที่สมนัยกันทุกคู่ ถ้าพบว่ารูปสามเหลี่ยมสองรูปนั้นมีด้านคู่ที่สมนัยกัน 3 คู่ แต่ละคู่ยาวเท่ากัน และมุมคู่ที่สมนัยกัน 3 คู่ แต่ละคู่มีขนาดเท่ากัน แล้วรูปสามเหลี่ยมสองรูปนั้นเท่ากันทุกประการ

ในการเขียนสัญลักษณ์แสดงรูปสามเหลี่ยมสองรูปที่เท่ากันทุกประการ นิยมเขียนตัวอักษรเรียงตามลำดับของมุมคู่ที่สมนัยกันและด้านคู่ที่สมนัยกัน เช่น เมื่อรูปสามเหลี่ยม ABC เท่ากันทุกประการกับรูปสามเหลี่ยม DEF ดังรูป

จากรูป มุมคู่ที่สมนัยกันและด้านคู่ที่สมนัยกันมีขนาดเท่ากันดังนี้
A ̂ = D ̂ และ AB = DE
B ̂ = E ̂ และ BC = EF
C ̂ = F ̂ และ CA = FD

เขียนแสดงความเท่ากันทุกประการของรูปสามเหลี่ยม ได้ดังนี้ ∆ABC ≅ ∆DEF