การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองที่อยู่ในรูปกำลังสองสัมบูรณ์
พิจารณาการแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองต่อไปนี้
x
2 + 6x + 9 = (x + 3)(x + 3)
หรือ x
2 + 6x + 9 = (x + 3)
2
จากตัวอย่างการแยกตัวประกอบของพหุนามข้างต้น จะเห็นว่า การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสอง จะตัวประกอบเป็นพหุนามดีกรีหนึ่งที่ซ้ำกัน จึงเขียนการแยกตัวประกอบของแต่ละพหุนามดีกรีสองข้างต้น ได้เป็นกำลังสองของพหุนามดีกรีหนึ่งเรียกพหุนามดีกรีสองที่มีลักษณะเช่นนี้ว่า พหุนามดีกรีสองที่เป็นกำลังสองสมบูรณ์
ในกรณีทั่วไป ถ้าให้ A แทนพจน์หน้า และ B แทนพจน์หลัง จะแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองที่เป็นกำลังสองสมบูรณ์ได้ตามสูตร ดังนี้
A
2 + 2AB + B
2 = (A + B)
2
A
2 - 2AB + B
2 = (A - B)
2
พิจารณาการแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองที่เป็นกำลังสองสมบูรณ์ โดยใช้สูตรข้างต้น เมื่อให้ A และ B เป็นเอกนามดังตัวอย่าง
ตัวอย่าง
จงแยกตัวประกอบของ x
2 + 30x + 225
วิธีทำ
x
2 + 30x + 225 = x
2 + 2(15)x + 15
2
ดังนั้น x
2 + 30x + 225 = (x + 15)
2
เราสามารถใช้สูตร
A
2 + 2AB + B
2 = (A + B)
2
A
2 - 2AB + B
2 = (A - B)
2
ในกรณีที่ A และ B เป็นพหุนามในการแยกตัวประกอบดังตัวอย่าง
ตัวอย่าง จงแยกตัวประกอบของ (x + 1)
2 + 14(x + 1) + 49
วิธีทำ
(x + 1)
2 + 14(x + 1) + 49 = (x + 1)
2 + 2(7)(x + 1) + 7
2
ดังนั้น (x + 1)
2 + 14(x + 1) + 49 = (x + 8)
2
จำไว้ใช้
จากสูตร A
2 + 2AB + B
2 = (A + B)
2
และ A
2 - 2AB + B
2 = (A - B)
2
เพื่อให้ง่ายต่อการจดจำในการนำไปใช้ให้จำย่อ ๆ ดังนี้
(หน้า)
2 + 2หน้าหลัง + (หลัง)
2 = (หน้า + หลัง)
2
และ (หน้า)
2 - 2หน้าหลัง + (หลัง)
2 = (หน้า - หลัง)
2
