คณิตศาสตร์ ม.4 รากที่ n ของจำนวนจริง

รากที่ n ของจำนวนจริง

บทนิยาม ให้ a และ b เป็นจำนวนจริง จะเรียก b ว่าเป็นรากที่ 3 ของ a ก็ต่อเมื่อ b³ = a

หมายเหตุ
(1) ถ้า a = 0 แล้ว b = รากที่ 3 ของ a = 0
(2) ถ้า a > 0 แล้ว b = รากที่ 3 ของ a > 0
(3) ถ้า a < 0 แล้ว b = รากที่ 3 ของ a < 0
(4) จาก (1) ถึง (3) จะได้ว่า ถ้า a เป็นจำนวนจริงใด ๆ แล้ว เราสามารถหารากที่ 3 ของ a ได้เสมอ และรากที่ 3 ของ a จะมีได้เพียงจำนวนเดียวเท่านั้น ต่อไปนี้จะเขียนสัญลักษณ์แทนรากที่ 3 ของ ∛a ด้วย นั่นคือ
ถ้า a = 0 แล้ว ∛a = 0
ถ้า a > 0 แล้ว ∛a > 0
ถ้า a < 0 แล้ว ∛a > 0

ตัวอย่าง
(1) ∛8 = 2 ทั้งนี้เพราะ 2³ = 8
(2) ∛27 = 3 ทั้งนี้เพราะ 3³ = 27
(3) ∛125 = 5 ทั้งนี้เพราะ 5³ = 125
(4) ∛(-64) = -4 ทั้งนี้เพราะ (-4)³ = -64
(5) ∛(-216) = -6 ทั้งนี้เพราะ (-6)³ = -216

รากที่ n ของจำนวนจริง

ที่กล่าวมาทั้งหมดแล้ว เป็นความหมายของรากและค่าหลักของรากที่ 3 ของจำนวนจริง ในกรณีทั่ว ๆ ไป ถ้า n เป็นจำนวนเต็มบวกที่มากกว่า 1 เราสามารถให้ความหมายของรากที่ n และค่าหลักของรากที่ n ของจำนวนจริงได้ ดังบทนิยามต่อไปนี้

บทนิยาม ให้ a และ b เป็นจำนวนจริง จะเรียก b ว่าเป็นรากที่ n ของ a ก็ต่อเมื่อ bⁿ = a

เช่นเดียวกับรากที่ 2 และรากที่ 3 เราจะพิจารณาเปรียบเทียบ รากที่ n ของ a ได้ โดยแยกพิจารณา ตามจำนวนเต็มบวก n ค่า ว่าเป็นจำนวนคู่หรือจำนวนคี่ ดังนี้

n เป็นจำนวนคู่	n เป็นจำนวนคี่
(1) รากที่ n ของ a จะหาค่าได้ ก็ต่อเมื่อ a ≥ 0 เท่านั้น	(1) รากที่ n ของ a จะหาค่าได้ เสมอ
(2) ถ้า a = 0 แล้ว รากที่ n ของ a เท่ากับ 0	(2) ถ้า a = 0 แล้ว รากที่ n ของ a เท่ากับ 0
(3) ถ้า a > 0 แล้ว รากที่ n ของ a จะมี 2 จำนวน คือ จำนวนหนึ่งเป็นบวกและอีกจำนวนหนึ่งเป็นลบ	(3) ถ้า a > 0 แล้ว รากที่ n ของ a จะมีเพียงจำนวนเดียว และเป็นจำนวนจริงบวก
(4) ถ้า a < 0 แล้ว ไม่สามารถหารากที่ n ของ a ได้	(4) ถ้า a < 0 แล้ว รากที่ n ของ a จะมีเพียงจำนวนเดียว และเป็นจำนวนจริงลบ