คณิตศาสตร์ ม.5 ฟังก์ชันเอกโพเนนเชียลและฟังก์ชันลอการิทึม

บทเรียนย่อยและฝึกทักษะเลขยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็น จำนวนเต็มรากที่ n ในระบบจำนวนจริงและจำนวนจริงในรูปกรณฑ์เลขยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนตรรกยะฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลฟังก์ชันลอการิทึมการหาค่าลอการิทึมการเปลี่ยนฐานของลอการิทึมสมการเอกซ์โพเนนเชียลและสมการลอการิทึมการประยุกต์ของฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลและฟังก์ชันลอการิทึม

ฟังก์ชันเอกโพเนนเชียลและฟังก์ชันลอการิทึม

เลขยกกำลัง (exponential)

1. เลขยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็ม an = a x a x a x ... x a เมื่อ a เป็นจำนวนจริง มีจำนวน n ตัว และ n เป็นจำนวนเต็มบวก เรียก a ว่าฐาน เรียก n ว่าเลขชี้กำลัง และเรียก an ว่าเลขยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็ม
2. เลขยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนตรรกยะ a1/n = n√a เมื่อ a เป็นจำนวนจริงบวก และ n เป็นจำนวนเต็มบวก

สมบัติของเลขยกกำลังกรณีทั่วไป

1. an = a x a x a x … x a (n ตัว)[เมื่อ n เป็นจำนวนเต็มบวก]
2. a-n = 1 / an [a ≠ 0]
3. a0 = 1 [a ≠ 0]
4. am x an = am + n [ฐานเหมือนกันคูณกันนำกำลังบวกกัน]
5. am ÷ an = am - n [ฐานเหมือนกันหารกันนำกำลังลบกัน]
6. (am)n = am x n [กำลังซ้อนกันนำกำลังไปคูณกัน]
7. (a x b)n = an x bn
8. (a ÷ b)n = an ÷ bn

รากที่ 2 และรากที่ n

ให้ x, y เป็นจำนวนจริงแล้ว
y เป็นรากที่สองของ x จะได้ y2 = x
ให้ x, y เป็นจำนวนจริง และ n เป็นจำนวนเต็มที่มากกว่า 1 แล้ว
y เป็นรากที่ n ของ x จะได้ yn = x

ค่าหลักของรากที่ n ของ x

บทนิยาม ค่าหลักของรากที่ n ของ x
n√x คือ ค่าหลักของรากที่ n ของ x เป็น
1. 0 ถ้า x = 0
2. บวก ถ้า x > 0
3. ลบ ถ้า x < 0 และ n เป็นจำนวนเต็มคี่
4. ไม่เป็นจริง (not a real number) คือ ไม่มี ถ้า x < 0 และ n เป็นจำนวนเต็มบวกคู่

ตัวอย่าง ความหมายของค่าหลัก
√16 หมายถึง ค่าหลักของรากที่สองของ 16 (mean the principle square of 16) ซึ่งเรียกอีกอย่างหนึ่งคือ รากที่สองของ 16 ที่เป็นบวก นั่นคือ √16 = 4
3√16 หมายถึง ค่าหลักของรากที่สามของ 16
4√16 หมายถึง ค่าหลักของรากที่สี่ของ 16

ตัวอย่าง บทนิยามของค่าหลัก เรายกตัวอย่างทั้ง 4 กรณีในบทนิยามข้างต้นได้ดังนี้
1. √0 = 0 (= รากหลักของหลักที่ 2)
2. √16 = 4 (= รากหลักของรากที่ 2)
3. 3√8 = 2 (= รากหลักของรากที่ 3)
4. 3√-8 = -2 (= รากหลักของรากที่ 3)
5. 4√-18 = ไม่เป็นจำนวนจริง (= รากหลักของรากที่ 4)

บทนิยามของเลขยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนตรรกยะ

บทนิยามของ a1/n ในรูปของ n

บทนิยาม ถ้า n ∈ I+, n > 1, a ∈ R และ n√a ∈ R แล้ว a1/n = n√a

บทนิยามของเลขยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนตรรกยะ ap/q

บทนิยาม ให้ a เป็นจำนวนจริง p, q เป็นจำนวนเต็มที่ (p, q) = 1, q > 0 และ a1/q ∈ R โดยเมื่อ p < 0 แล้ว a ต้องไม่เป็น 0