คณิตศาสตร์ ม.2 จำนวนอตรรกยะ

จำนวนอตรรกยะ

ถึงแม้ว่าจำนวนเต็ม เศษส่วน และทศนิยมซ้ำ จะมีประโยชน์และสามารถนำไปใช้ได้อย่างกว้างขวาง แต่ก็ยังมีปัญหาหรือสถานการณ์บางอย่างที่ไม่สามารถใช้จำนวนดังกล่าวแทนปริมาณที่ต้องการสื่อได้ ดังเช่นสถานการณ์ต่อไปนี้

โรงเรียนแห่งหนึ่งต้องการทำสวนหย่อมหน้าโรงเรียนเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส โดยให้มีพื้นที่ขนาด 2 ตารางวา สวนหย่อมนี้จะมีด้านแต่ละด้านยาวเท่าไร

นักเรียนทราบว่าพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสเท่ากับผลคูณของความยาวของด้าน เมื่อให้แทนความยาวของด้าน จึงได้ว่า

x·x = 2
x² = 2

ดังนั้น การหาความยาวของด้านจึงเป็นการหาจำนวนที่ยกกำลังสองแล้วได้ 2 โดยเริ่มจากการลองแทนค่า x ด้วยจำนวนเต็มบวก ดังนี้

x	1	2
x2	1	4

จากตาราง จะได้ว่า x มีค่าอยู่ระหว่าง 1 กับ 2

เพื่อหาค่า x เป็นทศนิยมหนึ่งตำแหน่ง จึงแบ่งช่วงระหว่าง 1 กับ 2 ออกเป็นสิบส่วนเท่าๆกัน แล้วพิจารณาว่า x ควรมีค่าเท่าใด โดยลองแทนค่า x ด้วยทศนิยมหนึ่งตำแหน่งที่อยู่ระหว่าง 1 และ 2 ดังนี้

x	1.1	1.2	1.3	1.4	1.5
x2	1.21	1.44	1.69	1.96	2.25

จากตาราง จะได้ว่า x มีค่าอยู่ระหว่าง 1.4 กับ 1.5

เพื่อหาค่า x เป็นทศนิยมสองตำแหน่ง จึงแบ่งช่วงระหว่าง 1.4 และ 1.5 ออกเป็นสิบส่วนเท่าๆกัน แล้วพิจารณาว่า x ควรจะมีค่าเท่าใด โดยลองแทนค่า x ด้วยทศนิยมสองตำแหน่งที่อยู่ระหว่าง 1.4 และ 1.5 ดังนี้

x	1.41	1.42	1.43
x2	1.9881	2.0164	2.0449

จากตาราง จะได้ว่า x มีค่าอยู่ระหว่าง 1.41 กับ 1.42

เพื่อหาค่า x เป็นทศนิยมตำแหน่งถัดๆไป จึงทำในทำนองเดียวกัน ดังตารางต่อไปนี้

x	1.411	1.412	1.413	1.414	1.415
x2	1.990921	1.993744	1.996569	1.999396	2.002225

ถ้าหาค่า x ต่อไปเรื่อย ๆ จะพบว่า ค่าที่ได้นั้นเป็นทศนิยมที่ต่อไปได้โดยไม่สิ้นสุด ซึ่งอาจใช้เครื่องคำนวณคิดได้ x เป็นทศนิยมหลายตำแหน่ง ดังนี้

1.414213562373095048801688724209...

ทศนิยมในลักษณะนี้ไม่สามารถเขียนแทนได้ด้วยเศษส่วนหรือทศนิยมซ้ำ

เมื่อไม่สามารถแทน x ได้ด้วยเศษส่วนหรือทศนิยมซ้ำ จึงจำเป็นต้องแทน x ด้วยจำนวนชนิดใหม่โดยใช้เครื่องหมายกรณฑ์ (√) ดังนั้นจึงเขียนสัญลักษณ์ √2 แทนจำนวนบวกที่ยกกำลังสองแล้วได้ 2

นั่นคือ จากปัญหาการทำสวนหย่อมข้างต้น จะได้คำตอบสวนหย่อมนี้มีด้านแต่ละด้านยาว √2 วา

√2 เป็นตัวอย่างของจำนวนที่ไม่สามารถเขียนแทนได้ด้วยทศนิยมซ้ำ จึงไม่สามารถเขียนแทนได้ด้วยเศษส่วน √2 จึงไม่ใช่จำนวนตรรกยะ แต่เป็นตัวอย่างของจำนวนอตรรกยะ

บทนิยามของจำนวนอตรรกยะ

จำนวนอตรรกยะ คือ จำนวนที่ไม่สามารถเขียนแทนได้ด้วยทศนิยมซ้ำหรือเศษส่วน a/b เมื่อ a และ b เป็นจำนวนเต็มที่ b≠0

ตัวอย่างของจำนวนอตรรกยะ เช่น
1.234567891011121314...
3.432322322...
16.79779777977779...

จากตัวอย่างข้างต้น จะสังเกตเห็นว่า เราไม่สามารถจัดชุดตัวเลขหลังจุดทศนิยมของจำนวนอตรรกยะแต่ละจำนวน ให้เป็นชุดตัวเลขที่ซ้ำกันได้

อีกตัวอย่างหนึ่งของจำนวนอตรรกยะ คือ π ซึ่งมีค่าเท่ากับ 3.141592653589793238462...

π คือ อัตราส่วนของความยาวของเส้นรอบวงของวงกลมต่อความยาวของเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลม เมื่อคำนวณหาพื้นที่ของวงกลมโดยใช้สูตร πr² หรือคำนวณหาความยาวของเส้นรอบวงของวงกลม โดยใช้สูตร 2πr เมื่อ r แทนรัศมีของวงกลม มักใช้ค่าประมาณของ π เป็น 22/7 หรือ 3.1416 หรือ 3.142 ซึ่งเป็นจำนวนตรรกยะทั้งหมด