คณิตศาสตร์ ม.5 กฎเกณฑ์เบื้องต้นเกี่ยวกับการนับ

กฎเกณฑ์เบื้องต้นเกี่ยวกับการนับ (Fundamental Principles of Counting)

ในชีวิตประจำวันของมนุษย์เรามักจะเกี่ยวข้องกับการทำนายอนาคตเสมอ เช่น การทำนายลมฟ้า อากาศ ทำนายเกี่ยวกับการแข่งขันฟุตบอล เป็นต้น การศึกษาความน่าจะเป็นนั้นเกิดขี้นประมาณ ศตวรรษที่ 17 เมื่อนักพนันชื่อ Cevaalier de Mere ได้ถามปัญหา ปาสคาล (Blaise Pascal) และปาสคาลได้ส่งปัญหานี้ไปให้ แฟร์มาสต์ (Pierre de Fermat) และทั้งสองได้ศึกษาปัญหา และเริ่มสร้างทฤษฎีต่าง ๆ ขึ้น การศึกษาเรื่อง ความน่าจะเป็นนี้ จะช่วยให้นักเรียนสามารถเดาเหตุการณ์ ได้อย่างมีหลักมีเกณฑ์ช่วยในการตัดสินใจได้ถูกต้องมากยิ่งขึ้น

กฎข้อที่ 1 ถ้าการกระทำหนึ่งประกอบด้วย 2 ขั้นตอน โดยที่ขั้นตอนที่ 1 มีผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ จำนวน n1 ผลลัพธ์ ในแต่ละผลลัพธ์นั้นของขั้นตอนที่ 1 มีผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ในขั้นตอนที่ 2 จำนวน n2 ผลลัพธ์
ดังนั้น จำนวนผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมด = n1 x n2 ผลลัพธ์

ตัวอย่าง ศรรามมีเสื้อและกางเกง สำหรับสวมใส่ไปแสดงละคร 3 ตัว และ 2 ตัวตามลำดับ อยากทราบว่าศรรามจะสวมใส่เสื้อและกางเกงไปแสดงละครชุดต่าง ๆ ได้ทั้งหมดกี่ชุด
แนวคิด
ศรรามมีเสื้ออยู่ 3 ตัว
และเสื้อแต่ละตัวใส่กับกางเกงได้ 2 ตัว
ดังนั้น จำนวนชุดที่ศรรามสวมใส่ = 3 x 2 = 6 ชุด

ตัวอย่าง ในการเล่นเป่ายิ้งชุบ มีผู้เล่น 2 คน แต่ละคนจะออกมือแทนสิ่งใดสิ่งหนึ่งใน 3 สิ่งต่อไปนี้ คือ ฆ้อน กรรไกร กระดาษ จงหาจำนวนผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมด
แนวคิด
ผู้เล่นคนที่ 1 จะออกมือได้ 3 แบบ
แต่ละแบบของผู้เล่นคนที่ 1 ผู้เล่นคนที่ 2 จะออกมือได้ 3 แบบ
ดังนั้น จำนวนผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมด = 3 x 3 = 9 แบบ

ตัวอย่าง โรงเรียนแห่งหนึ่งมีประตูอยู่ 3 ประตู ถ้าให้นักเรียนเข้าประตูหนึ่งแล้วออกอีกประตูหนึ่ง โดยไม่ซ้ำกับประตูที่เข้ามา จะมีวิธีเข้าและออกทั้งหมดกี่วิธี
แนวคิด
โรงเรียนมีประตูอยู่ 3 ประตู
ดังนั้นเวลาเข้ามีวิธีเลือกได้ 3 ประตู
และเวลาออกไม่ให้ซ้ำกับประตูที่เข้ามา ซึ่งจะเลือกได้ 2 ประตู
ดังนั้น วิธีที่เข้าและออกที่ไม่ซ้ำประตู = 3 x 2 = 6 วิธี

ตัวอย่าง ครูต้องการส่งจดหมาย 5 ฉบับ ลงตู้ 3 ตู้ จะทำได้กี่วิธี
แนวคิด
จดหมายฉบับแรกเลือกตู้ส่งได้ 3 วิธี
จดหมายฉบับที่สองเลือกตู้ส่งได้ 3 วิธี
จดหมายฉบับที่สามเลือกตู้ส่งได้ 3 วิธี
จดหมายฉบับที่สี่เลือกตู้ส่งได้ 3 วิธี
จดหมายฉบับที่ห้าเลือกตู้ส่งได้ 3 วิธี
ดังนั้น ครูจะส่งจดหมายได้ทั้งสิ้น 3 x 3 x 3 x 3 x 3 = 35 วิธี

กฎข้อที่ 2 ถ้าการกระทำหนึ่งประกอบด้วย k ขั้นตอน โดยที่ขั้นตอนที่ 1 มีผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ จำนวน n1 ผลลัพธ์ ในแต่ละผลลัพธ์ของขั้นตอนที่ 1 มีผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ในขั้นตอนที่ 2 จำนวน n2 ผลลัพธ์ และในขั้นตอนที่ 1 และขั้นตอนที่ 2 มีผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ในขั้นตอนที่ 3 จำนวน n3 ผลลัพธ์ เป็นเช่นนี้ไปเรื่อย ๆ
ดังนั้น จำนวนผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมด = n1 x n2 x n3 x ... x nk ผลลัพธ์

ตัวอย่าง หม่ำมีกางเกงอยู่ 2 ตัว เสื้อ 3 ตัว เน็คไท 2 เส้น อยากทราบว่าหม่ำแต่งตัวได้ทั้งหมกี่วิธี
แนวคิด
หม่ำแต่งตัว 1 วิธีต้องประกอบด้วย 4 ขั้นตอน
ขั้นตอนที่ 1 หม่ำต้องเลือกกางเกงได้ 2 วิธี
ขั้นตอนที่ 2 ใน 1 วิธีหม่ำเลือกกางเกงและเสื้อได้ 3 วิธี
ขั้นตอนที่ 3 ในหนึ่งวิธีที่หม่ำเลือกกางเกงและเสื้อจะเลือกเน็คไทได้ 2 วิธี
ดังนั้น จำนวนที่หม่ำจะแต่งตัวได้ = 2 x 3 x 2 = 12 วิธี

ตัวอย่าง เมื่อโยนเหรียญหนึ่งอัน จำนวน 3 ครั้ง จะได้ผลต่าง ๆ กันกี่วิธี
แนวคิด
ให้ H แทนหัว
ให้ T แทนก้อย
โยนเหรียญครั้งที่ 1 เหรียญจะออก 2 วิธี
โยนเหรียญครั้งที่ 2 เหรียญจะออก 2 วิธี
โยนเหรียญครั้งที่ 3 เหรียญจะออก 2 วิธี
ดังนั้น จำนวนวิธีที่โยนเหรียญ 1 อัน จำนวน 3 ครั้ง = 2 x 2 x 2 = 8 ครั้ง
แสดงเป็นเซตแบบแจกแจงสมาชิกได้ดังนี้ {HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT}

ตัวอย่าง ถ้าต้องการสร้างเลข 3 หลัก ซึ่งแต่ละหลักไม่ซ้ำกัน โดยเลือกใช้เลขโดด 0, 1, 2, ..., 9 จะสร้างได้ทั้งหมดกี่จำนวน
แนวคิด
มีเลขโดดอยู่ 10 ตัว
ขั้นตอนที่ 1 เลือกเลขหลักร้อยก่อนได้ 9 วิธี (0 เป็นหลักร้อยไม่ได้)
ขั้นตอนที่ 2 เลือกเลขหลักสิบได้ 9 วิธี (0 เป็นหลักสิบได้)
ขั้นตอนที่ 3 เลือกเลขหลักหน่อยได้ 8 วิธี
ดังนั้น จะสร้างเลข 3 หลักได้ทั้งหมด = 9 x 9 x 8 = 648 วิธี

ตัวอย่าง ถ้าต้องการสร้างเลข 3 หลัก ซึ่งแต่ละหลักซ้ำกันได้ โดยเลือกใช้เลขโดด 0, 1, 2, ..., 9 จะสร้างได้ทั้งหมดกี่จำนวน
แนวคิด
มีเลขโดดอยู่ 10 ตัว
ขั้นตอนที่ 1 เลือกเลขหลักร้อยก่อนได้ 9 วิธี (0 เป็นหลักร้อยไม่ได้)
ขั้นตอนที่ 2 เลือกเลขหลักสิบได้ 10 วิธี (0 เป็นหลักสิบได้ ซ้ำกันได้)
ขั้นตอนที่ 3 เลือกเลขหลักหน่อยได้ 10 วิธี (ซ้ำกันได้)
ดังนั้น จะสร้างเลข 3 หลักได้ทั้งหมด = 9 x 10 x 10 = 900 วิธี

ตัวอย่าง หมายเลขโทรศัพท์ประกอบไปด้วยตัวเลข 6 ตัว และตัวเลขสามตัวแรกเป็น 670 มีได้ทั้งหมดกี่ตัวเลข
แนวคิด
หมายเลขโทรศัพท์ประกอบด้วยตัวเลข 6 ตำแหน่ง ซึ่งแต่ละตำแหน่งก็เป็นสมาชิกของเซต S={0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
ตำแหน่งที่ 1 เลือกเลขใส่ได้ 1 วิธี คือ 6
ตำแหน่งที่ 2 เลือกเลขใส่ได้ 1 วิธี คือ 7
ตำแหน่งที่ 3 เลือกเลขใส่ได้ 1 วิธี คือ 0
ตำแหน่งที่ 4 เลือกเลขใส่ได้ 10 วิธี คือ ตัวใดตัวหนึ่งใน S
ตำแหน่งที่ 5 เลือกเลขใส่ได้ 10 วิธี คือ ตัวใดตัวหนึ่งใน S
ตำแหน่งที่ 6 เลือกเลขใส่ได้ 10 วิธี คือ ตัวใดตัวหนึ่งใน S
ดังนั้น หมายเลขโทรศัพท์ที่สามตัวแรกเป็น 670 มีได้ทั้งหมด = 1 x 1 x 1 x 10 x 10 x 10 = 1000 หมายเลข

ตัวอย่าง มีโรงแรมอยู่ 5 แห่ง อยากทราบว่านักท่องเที่ยว 4 คน จะเลือกพักโรงแรมดังกล่าวโดยไม่ซ้ำกันได้กี่วิธี
แนวคิด
นักท่องเที่ยวคนที่ 1 สามารถเลือกพักโรงแรมได้ 5 วิธี
นักท่องเที่ยวคนที่ 2 สามารถเลือกพักโรงแรมได้ 4 วิธี
นักท่องเที่ยวคนที่ 3 สามารถเลือกพักโรงแรมได้ 3 วิธี
นักท่องเที่ยวคนที่ 4 สามารถเลือกพักโรงแรมได้ 2 วิธี
ดังนั้น นักท่องเที่ยวจะเลือกพักโรงแรมโดยไม่ซ้ำกันได้เท่ากับ 5 x 4 x 3 x 2 = 120 วิธี

ที่มา http://kruamm.files.wordpress.com


comments