คณิตศาสตร์ ม.5 ฟังก์ชันตรีโกณมิติ

ฟังก์ชันตรีโกณมิติ

ตรีโกณมิติใน Δ มุมฉาก

ค่าที่ควรจำ

√2 ≈ 1.414
√3 ≈ 1.732
√5 ≈ 2.236
√6 ≈ 2.45

หน่วยการวัดมุม

1. การวัดมุมในตรีโกณมิติ
1.1 ระบบเรเดียน(วัดเป็นจำนวนจริง) เช่น π หรือ 3.1416 ซึ่ง π ≈ 3.1416
1.2 ระบบองศา
2. การวัดมุมในระบบเรเดียน
θ(เรเดียน) = a/r
เมื่อ a = ความยาวของส่วนโค้ง, r = รัศมี, θ = ขนาดของมุม(เรเดียน)

ความสัมพันธ์ระหว่างองศา-เรเดียน

1. องศา-เรเดียน
180 องศา = π เรเดียน
1 องศา = π/180 เรเดียน ≈ 0.01745 เรเดียน
1 เรเดียน = 180/π องศา ≈ 57°18' (บางเล่มใช้ 57.3°, 57°17'42'')
2. เรเดียน
ค่า π = 3.1416 ≈ 22/7
3. เรเดียน-องศา π/2 เรเดียน = 90°
π เรเดียน = 180°
2π เรเดียน = 360°
π/4 เรเดียน = 45°
π/6 เรเดียน = 30°
π/3 เรเดียน = 60°

ตรีโกณมิติในวงกลม 1 หน่วย

วงกลม 1 หน่วย คือ {(x, y) ∈ R x R | x² + y² = 1}
เรากำหนดจำนวนจริง θ ให้ โดยเริ่มที่จุด(0, 1) วัดระยะทางไปตามส่วนโค้งของวงกลม 1 หน่วยโดยกำหนดว่า
θ เป็น + ถ้าวัดทวนเข็มนาฬิกา
θ เป็น - ถ้าวัดตามเข็มนาฬิกา
θ เป็นอักษรกรีก อ่านว่า ทีตา(theta)

เมื่อ(x, y) เป็นจุดปลายส่วนโค้งที่ยาว θ หน่วย

เรานิยาม
sin = {(θ, y) | θ, y ∈ R}
cos = {(θ, x) | θ, x ∈ R}
ฟังก์ชัน sin คือ เซตของคู่อันดับ (θ, y)
ฟังก์ชัน sin คือ เซตของคู่อันดับ (θ, x)
นั่นคือ
(θ, y) ∈ sin -> y = sin θ
(θ, x) ∈ cos -> x = sin θ

ฟังก์ชันตรีโกณมิติอื่น ๆ

tangent = {(x, y) ∈ R x R | y = sin x / cos x, cos x ≠ 0} = tan
cotangent = {(x, y) ∈ R x R | y = cos x / sin x, sin x ≠ 0} = cot
secant = {(x, y) ∈ R x R | y = 1 / cos x, cos x ≠ 0} = sec
cosecant = {(x, y) ∈ R x R | y = 1 / sin x, sin x ≠ 0} = cosec = csc

ค่าของจำนวนจริง π กับวงกลม 1 หน่วย

π ≈ 3.1416
π/2 ≈ 1.5708
3π/2 ≈ 4.7124
2π ≈ 6.2832

ค่าของมุม บนแกน x และแกน y

sin 0 = 0
cos 0 = 1
sin (π/2) = 1
cos (π/2) = 0
sin π = 0
cos π = -1
sin (3π/2) = -1
cos (3π/2) = 0

ที่มา หนังสือ Math Review คณิตศาสตร์ ม.5 เล่ม 1 กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์