คณิตศาสตร์ ม.5 ความน่าจะเป็น

บทเรียนย่อยและฝึกทักษะกฎเกณฑ์เบื้องต้นเกี่ยวกับการนับการเขียนแผนภาพต้นไม้อย่างง่ายการทดลองสุ่มแซมเปิลสเปซเหตุการณ์ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์

ความน่าจะเป็น

กฎการนับ

กฎของการนับมี 2 กฎใหม่
1. กฎการคูณ (multiplicative rule)
2. กฎการบวก (additive rule)

กฎการคูณ

1. กฎการคูณมี 2 ข้อดังนี้
กฎข้อ 1 ในการทำงานสองอย่างโดยที่งานอย่างแรกทำได้ n1 วิธีและในแต่ละวิธีของการเลือกทำงานอย่างแรกนี้ มีวิธีจะทำงานอย่างที่สองได้ n2 วิธี
กฎข้อ 2 ถ้างานอย่างแรกมีวิธีทำได้ n1 วิธี และในแต่ละวิธีที่เลือกอย่างแรก มีวิธีเลือกงานอย่างที่สองได้ n2 วิธี และในแต่ละวิธีที่เลือกทำงานอย่างแรกและอย่างที่สองมี n3 วิธีทำงานอย่างที่สาม โดยเป็นเช่นนี้เรื่อยถึงงานที่ k
2. กฎข้อ 2 เน้นการกระทำที่ต่อเนื่องกัน กฎข้อ 1 เป็นกรณีเฉพาะของกฎข้อ 2

กฎการบวก

กฎการบวกมี 2 ข้อดังนี้
กฎข้อที่ 3 ในการทำงานอย่างหนึ่งมีทางเลือก 2 ทาง คือ n1 กับ n2 วิธี และในแต่ละทางเลือกนั้นจะเลือกทำพร้อม ๆ กันไม่ได้ จำนวนวิธีที่จะเลือกทำงาน = n1 + n2 วิธี
กฎข้อที่ 4 คล้ายกับกฎข้อที่ 3 แต่มี k ทาง แต่ละทางเลือกจะกระทำได้ n1, n2, n3, ..., nk วิธี จำนวนวิธีเลือกทำงาน = n1 + n2 + n3 + ... + nk วิธี

ความน่าจะเป็นคืออะไร

ความน่าจะเป็น คือ โอกาสของสิ่งใดสิ่งหนึ่งที่จะเกิดขึ้น ซึ่งอาจจะเกิดหรือไม่เกิดก็ได้ ความน่าจะเป็นมีค่าตั้งแต่ 0 ถึง 1
ถ้าความน่าจะเป็น = 0 หมายถึง ไม่เกิดสิ่งนั้นแน่นอน
ถ้าความน่าจะเป็น = 0.5 หมายถึง มีโอกาสเกิดขึ้น 50 : 50
ถ้าความน่าจะเป็น = 1 หมายถึง เกิดสิ่งนั้นแน่นอน 100%

การทดลองสุ่ม

การทดลองสุ่ม (random experimental) คือ การทดลองซึ่งทราบว่าผลลัพธ์อาจจะเป็นอะไรได้บ้าง แต่ไม่สามารถบอกได้อย่างถูกต้องแม่นยำแน่นอนว่าในแต่ละครั้งที่ทดลองผลที่เกิดขึ้นจะเป็นอะไร ในบรรดาผลลัพธ์ที่อาจเป็นได้เหล่านั้น

ผลลัพธ์

ผลลัพธ์ (outcome) หรือ จุดตัวอย่าง (sample point) คือ ผลที่ปรากฎจากการทดลองสุ่ม เช่น การโยนเหรียญ 1 เหรียญ ผลลัพธ์ที่ได้คือ เหรียญอาจขึ้นหัวหรือก้อยก็ได้

แซมเปิลสเปซ

แซมเปิลสเปซ หรือ ปริภูมิตัวอย่าง (เขียนแทนด้วย S) คือ เซตของผลลัพธ์ทั้งหมดจากการทดลองสุ่ม แต่ละสมาชิกของปริภูมิตัวอย่างหรือผลการทดลองเรียกว่า ผลลัพธ์หรือจุดตัวอย่าง ตัวอย่างแซมเปิลสเปซของการโยนลูกเต๋า 2 ลูก คือ
S = {
    (1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6),
    (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6),
    (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6),
    (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6),
    (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6),
    (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6),
}

ความสัมพันธ์ระหว่างเหตุการณ์ (Event) และแซมเปิลสเปซ

1. เหตุการณ์(เขียนแทนด้วย E) คือ สับเซตของแซมเปิลสเปซนั่นคือ E ⊆ S
2. Φ เป็นเหตุการณ์
3.
(1) E1 υ E2 แทนยูเนียนของเหตุการณ์
(2) E1 ∩ E2 แทนอินเตอร์เซกชันของเหตุการณ์

คอมพรีเมนต์ของเหตุการณ์(Complement of an Event)

ถ้า S แทนแซมเปิลสเปซ, E เป็นเหตุการณ์ E ⊆ S เรียก E' ว่าคอมพรีเมนต์ของเหตุการณ์ E, E' คือเหตุการณ์ที่ประกอบด้วยสมาชิกที่อยู่ในแซมเปิลสเปซ S แต่ไม่อยู่ในเหตุการณ์ E

สูตรของความน่าจะเป็น

สูตร P(E) = n(E) / n(S)
P(E) คือ ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ E
n(E) คือ จำนวนสมาชิกของเหตุการณ์ E
n(S) คือ จำนวนสมาชิกของแซมเปิลสเปซ S

สมบัติของความน่าจะเป็น

1. P(E) = 0 หมายความว่าไม่มีโอกาสเกิดเหตุการณ์ E เลย
2. P(E) = 1 หมายความว่าเกิดเหตุการณ์แน่นอน
3. P(E) = 0.5 หมายความว่ามีโอกาสเกิดขึ้น 50 : 50
4. 0 ≤ P(E) ≤ 1 ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ใดเหตุการณ์หนึ่งมีค่าตั้งแต่ 0 ถึง 1
5. P(Φ) = 0 ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เป็นเซตว่างมีค่าเท่ากับ 0

ที่มา หนังสือ Math Review คณิตศาสตร์ ม.5 เล่ม 1 กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์