คณิตศาสตร์ ม.5 เวกเตอร์ในสามมิติ

บทเรียนย่อยและฝึกทักษะระบบพิกัดฉากสามมิติเวกเตอร์เวกเตอร์ในระบบพิกัดฉากผลคูณเชิงสเกลาร์ผลคูณเชิงเวกเตอร์

เวกเตอร์ในสามมิติ

การบอกปริมาณ

ปริมาณมี 2 รูปแบบ คือ
1. ปริมาณสเกลาร์ (scalar quantity) คือ ปริมาณที่บอกเฉพาะขนาด ไม่บอกทิศทาง เช่น ระยะทาง พื้นที่ อุณหภูมิ ความสูง ความดัน เป็นต้น
2. ปริมาณเวกเตอร์ (vector quantity) หรือเรียกสั้น ๆ ว่า เวกเตอร์ คือปริมาณที่บอกทั้งขนาดและทิศทาง เช่น ความเร็ว ความเร่ง แรง โมเมนต้ม เป็นต้น

การใช้แผนภาพเวกเตอร์

ปริมาณเวกเตอร์ในเชิงเรขาคณิตแทนได้ด้วยส่วนของเส้นตรงที่ระบุทิศทาง โดยความยาวของส่วนของเส้นตรงขนาดและหัวลูกศรบอกทิศทาง
เวกเตอร์ในสามมิติ A B


สัญลักษณ์

เวกเตอร์ในสามมิติ A B


เวกเตอร์ตำแหน่ง (2 มิติ - 3 มิติ)

เวกเตอร์ตำแหน่ง (2 มิติ - 3 มิติ)


การบวกเวกเตอร์

u + v คือ เวกเตอร์ที่มีจุดเริ่มต้นที่จุดเริ่มต้นของ u แล้วจุดสิ้นสุดอยู่ที่จุดสิ้นสุดของ v (ผลบวก u + v อาจะเรียกว่าเวกเตอร์ลัพธ์ก็ได้)

วิธีการบวก

วิธีการบวกมี 2 วิธี คือ
1. โดยใช้บทนิยาม นำเวกเตอร์มาต่อกัน
2. ใช้กฎสี่เหลี่ยมด้านขนาน
วิธีการบวกเวกเตอร์


สมบัติการบวกในระนาบ

1. u + v เป็นเวกเตอร์ในระนาบ สมบัติปิด
2. u + v = v + u สมบัติการสลับที่
3. u + (v + w) = (u + (v) + w สมบัติการเปลี่ยนกลุ่มได้
4. มี 0 โดยที่ 0 + u = u + 0 = u สมบัติการมีเอกลักษณ์
5. สำหรับทุก ๆ u จะมี -u โดยที่ -u + u = 0 = u + (-u) สมบัติการผกผัน
6. ถ้า u = v แล้ว w + v = w + u สมบัติการบวกด้วยเวกเตอร์ที่เท่ากัน

การเขียนกราฟเวกเตอร์ใน 2 มิติ

กราฟของเวกเตอร์

1 กราฟของเวกเตอร์ u = (a, b) = ai + bj
ระยะตามแกน Y = b หน่วย
ระยะตามแกน X = a หน่วย
การเขียนกราฟเวกเตอร์ใน 2 มิติ


กราฟแสดงผลบวก u + v

ให้
u = ai + bj
v = ci + dj
u + v = (a + c)i + (b + d)j
u - v = (a - c)i + (b - d)j

เวกเตอร์ศูนย์

1. เวกเตอร์ศูนย์ 0 (0) คือเวกเตอร์ที่มีขนาดศูนย์หน่วย
2. จุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์ศูนย์เป็นจุดเดียวกัน

การคูณเวกเตอร์ด้วยสเกลาร์

ให้เวกเตอร์ u จะเขียน 2u ได้ 2u = u + u

สมบัติการคูณเวกเตอร์ด้วยสเกลาร์

ให้ u และ v เป็นเวกเตอร์ใด ๆ ในระนาบ a และ b เป็นจำนวนจริง
1. au เป็นเวกเตอร์ในระบบ สมบัติปิด
2. a(bu) = (ab)u สมบัติการเปลี่ยนกลุ่ม
3. (a + b)u = au + bu สมบัติการแจกแจง
4. a(u + v) = au + av สมบัติการแจกแจง
5. 1u = u
6. ถ้า au = 0 แล้ว a = 0 หรือ u = 0

ที่มา หนังสือ Math Review คณิตศาสตร์ ม.5 เล่ม 1 กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์