เวกเตอร์ในสามมิติ
การบอกปริมาณ
ปริมาณมี 2 รูปแบบ คือ
1. ปริมาณสเกลาร์ (scalar quantity) คือ ปริมาณที่บอกเฉพาะขนาด ไม่บอกทิศทาง เช่น ระยะทาง พื้นที่ อุณหภูมิ ความสูง ความดัน เป็นต้น
2. ปริมาณเวกเตอร์ (vector quantity) หรือเรียกสั้น ๆ ว่า เวกเตอร์ คือปริมาณที่บอกทั้งขนาดและทิศทาง เช่น ความเร็ว ความเร่ง แรง โมเมนต้ม เป็นต้น
การใช้แผนภาพเวกเตอร์
ปริมาณเวกเตอร์ในเชิงเรขาคณิตแทนได้ด้วยส่วนของเส้นตรงที่ระบุทิศทาง โดยความยาวของส่วนของเส้นตรงขนาดและหัวลูกศรบอกทิศทาง
สัญลักษณ์
เวกเตอร์ตำแหน่ง (2 มิติ - 3 มิติ)
การบวกเวกเตอร์
u +
v คือ เวกเตอร์ที่มีจุดเริ่มต้นที่จุดเริ่มต้นของ
u แล้วจุดสิ้นสุดอยู่ที่จุดสิ้นสุดของ
v (ผลบวก
u +
v อาจะเรียกว่าเวกเตอร์ลัพธ์ก็ได้)
วิธีการบวก
วิธีการบวกมี 2 วิธี คือ
1. โดยใช้บทนิยาม นำเวกเตอร์มาต่อกัน
2. ใช้กฎสี่เหลี่ยมด้านขนาน
สมบัติการบวกในระนาบ
1.
u +
v เป็นเวกเตอร์ในระนาบ สมบัติปิด
2.
u +
v =
v +
u สมบัติการสลับที่
3.
u + (
v +
w) = (
u + (
v) +
w สมบัติการเปลี่ยนกลุ่มได้
4. มี
0 โดยที่
0 +
u =
u +
0 =
u สมบัติการมีเอกลักษณ์
5. สำหรับทุก ๆ
u จะมี
-u โดยที่
-u +
u =
0 =
u + (
-u) สมบัติการผกผัน
6. ถ้า
u =
v แล้ว
w +
v =
w +
u สมบัติการบวกด้วยเวกเตอร์ที่เท่ากัน
การเขียนกราฟเวกเตอร์ใน 2 มิติ
กราฟของเวกเตอร์
1 กราฟของเวกเตอร์
u = (a, b) = a
i + b
j
ระยะตามแกน Y = b หน่วย
ระยะตามแกน X = a หน่วย
กราฟแสดงผลบวก u + v
ให้
u = a
i + b
j
v = c
i + d
j
u +
v = (a + c)
i + (b + d)
j
u -
v = (a - c)
i + (b - d)
j
เวกเตอร์ศูนย์
1. เวกเตอร์ศูนย์ 0 (
0) คือเวกเตอร์ที่มีขนาดศูนย์หน่วย
2. จุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์ศูนย์เป็นจุดเดียวกัน
การคูณเวกเตอร์ด้วยสเกลาร์
ให้เวกเตอร์
u จะเขียน 2
u ได้ 2
u =
u +
u
สมบัติการคูณเวกเตอร์ด้วยสเกลาร์
ให้
u และ
v เป็นเวกเตอร์ใด ๆ ในระนาบ a และ b เป็นจำนวนจริง
1. a
u เป็นเวกเตอร์ในระบบ สมบัติปิด
2. a(b
u) = (ab)
u สมบัติการเปลี่ยนกลุ่ม
3. (a + b)
u = a
u + b
u สมบัติการแจกแจง
4. a(
u +
v) = a
u + a
v สมบัติการแจกแจง
5. 1
u =
u
6. ถ้า a
u =
0 แล้ว a = 0 หรือ
u =
0
ที่มา หนังสือ Math Review คณิตศาสตร์ ม.5 เล่ม 1 กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์
